💡정답 및 해설 펼쳐보기
\begin{align*}
&\dfrac{d}{dx} f(1-2x) = \dfrac{d}{dx} f(x+3) \\
&f'(1-2x) \cdot (-2) = f'(x+3) \cdot 1 \quad \cdots \text{㉠}
\end{align*}
문제에서 힌트로 $f'(1) = 8$이 주어졌고, 목표는 $f'(-3)$을 찾는 것입니다. ㉠식의 두 괄호 안의 값이 연쇄적으로 이어지도록 $x$값을 적절히 대입해야 합니다.
[Step 1] $f'(1)$을 활용하기 위해 $1-2x = 1$이 되는 $x=0$을 대입해 봅니다.
\begin{align*}
f'(1) \cdot (-2) &= f'(3) \\
8 \cdot (-2) &= f'(3) \implies f'(3) = -16
\end{align*}
$f'(3)$을 얻었지만, 이 값이 $f'(-3)$으로 향하는 연결고리가 되지는 않습니다.
[Step 2] 반대쪽 괄호인 $x+3 = 1$이 되는 $x = -2$를 대입해 봅니다.
\begin{align*}
f'(1-2(-2)) \cdot (-2) &= f'(-2+3) \\
f'(5) \cdot (-2) &= f'(1) = 8 \\
\implies f'(5) &= -4
\end{align*}
새로운 단서 $f'(5) = -4$를 확보했습니다.
[Step 3] 이제 우리가 구해야 하는 $f'(-3)$을 식에 등장시키기 위해, $1-2x = -3$이 되는 $x = 2$를 대입해 봅니다.
\begin{align*}
f'(1-2(2)) \cdot (-2) &= f'(2+3) \\
f'(-3) \cdot (-2) &= f'(5)
\end{align*}
아! 방금 [Step 2]에서 구해둔 $f'(5)$가 여기서 사용됩니다.
\begin{align*}
f'(-3) \cdot (-2) &= -4 \\
\implies f'(-3) &= 2
\end{align*}
“모든 실수 $x$에 대하여 성립한다”는 말은 두 그래프가 완전히 포개어져 있다는 뜻입니다. 형태가 완벽히 같으므로, 그 변화율(도함수) 역시 어떤 $x$에서도 완벽히 동일해야만 합니다.
2. 연쇄 법칙(Chain Rule) 시각화:
이 문제는 단순히 대입을 넘어, 정의역의 숫자들이 어떤 규칙으로 변환(Mapping)되어 가는지를 파악하는 방탈출 게임과 같습니다.
1. 가진 단서: 괄호 안이 $1$이다.
2. 알고 싶은 목표: 괄호 안이 $-3$이다.
그렇다면 관계식 $f'(1-2x) \cdot (-2) = f'(x+3)$ 의 좌우 괄호 $(1-2x)$와 $(x+3)$에 번갈아 목표 숫자 $1$과 $-3$을 강제로 세팅해 보는 것이 핵심 알고리즘입니다. 그 결과 튀어나오는 교집합 숫자가 바로 징검다리(위 문제에서는 $5$) 역할을 하게 됩니다. 이 역추적 사고방식을 훈련하면 최상위권 킬러 문제의 실마리를 단숨에 낚아챌 수 있습니다.