함수 $f_n(x) = x^n$ ($0 < x < 1$)에 대하여
$$ g(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f_k(x) $$
라고 할 때, $g'\left(\dfrac{2}{3}\right)$의 값은? (단, $n$은 자연수이다.)
①$1$
②$3$
③$5$
④$7$
⑤$9$
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✔ 정답 ⑤
📝 정석 풀이
주어진 함수 $g(x)$ 내부의 식은 $\sum_{k=1}^n x^k$이므로 첫째항이 $x$, 공비가 $x$인 등비수열의 합입니다.
조건에서 $0 < x < 1$이므로, $n \to \infty$일 때 무한등비급수는 수렴합니다. \begin{align*} g(x) &= \lim_{n \to \infty} (x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n) \\ &= \dfrac{\text{첫째항}}{1 - \text{공비}} = \dfrac{x}{1-x} \end{align*} 이제 도함수 $g'(x)$를 구하기 위해 몫의 미분법을 적용합니다. \begin{align*} g'(x) &= \dfrac{(x)' \cdot (1-x) - x \cdot (1-x)'}{(1-x)^2} \\ &= \dfrac{1 \cdot (1-x) - x \cdot (-1)}{(1-x)^2} \\ &= \dfrac{1 - x + x}{(1-x)^2} = \dfrac{1}{(1-x)^2} \end{align*} 구하려는 값은 $g'\left(\dfrac{2}{3}\right)$이므로 대입하여 계산합니다. \begin{align*} g'\left(\dfrac{2}{3}\right) &= \dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2} \\ &= \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{9}} = 9 \end{align*}
조건에서 $0 < x < 1$이므로, $n \to \infty$일 때 무한등비급수는 수렴합니다. \begin{align*} g(x) &= \lim_{n \to \infty} (x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n) \\ &= \dfrac{\text{첫째항}}{1 - \text{공비}} = \dfrac{x}{1-x} \end{align*} 이제 도함수 $g'(x)$를 구하기 위해 몫의 미분법을 적용합니다. \begin{align*} g'(x) &= \dfrac{(x)' \cdot (1-x) - x \cdot (1-x)'}{(1-x)^2} \\ &= \dfrac{1 \cdot (1-x) - x \cdot (-1)}{(1-x)^2} \\ &= \dfrac{1 - x + x}{(1-x)^2} = \dfrac{1}{(1-x)^2} \end{align*} 구하려는 값은 $g'\left(\dfrac{2}{3}\right)$이므로 대입하여 계산합니다. \begin{align*} g'\left(\dfrac{2}{3}\right) &= \dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2} \\ &= \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{9}} = 9 \end{align*}
📘 관련 개념 및 공식
무한등비급수의 기하학적 수렴:
$x$가 $0$과 $1$ 사이의 비율을 가질 때, 계속 곱할수록 크기는 $0$으로 쪼그라듭니다. 한없이 더해나가는 행위가 유한한 경계에 갇혀 $\dfrac{x}{1-x}$라는 극히 깔끔한 유리함수 하나로 압축된다는 것은 극한이 주는 선물입니다.
$x$가 $0$과 $1$ 사이의 비율을 가질 때, 계속 곱할수록 크기는 $0$으로 쪼그라듭니다. 한없이 더해나가는 행위가 유한한 경계에 갇혀 $\dfrac{x}{1-x}$라는 극히 깔끔한 유리함수 하나로 압축된다는 것은 극한이 주는 선물입니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
유리함수 $g(x) = \dfrac{x}{1-x}$를 미분할 때, 몫의 미분법 공식을 그대로 적용해도 좋지만 식을 분리해버리면 암산이 가능해집니다.
분모의 형태에 맞춰 분자를 변형합니다.
\begin{align*}
g(x) &= \dfrac{-(1-x) + 1}{1-x} = -1 + \dfrac{1}{1-x} \\
&= -1 + (1-x)^{-1}
\end{align*}
이제 합성함수 미분법으로 가볍게 치면,
\begin{align*}
g'(x) &= 0 + (-1)(1-x)^{-2} \cdot (-1) \\
&= \dfrac{1}{(1-x)^2}
\end{align*}
몫의 미분법 특유의 분자에서 벌어지는 복잡한 뺄셈 싸움을 원천적으로 회피하는 우아한 시각입니다.
분모의 형태에 맞춰 분자를 변형합니다.
\begin{align*}
g(x) &= \dfrac{-(1-x) + 1}{1-x} = -1 + \dfrac{1}{1-x} \\
&= -1 + (1-x)^{-1}
\end{align*}
이제 합성함수 미분법으로 가볍게 치면,
\begin{align*}
g'(x) &= 0 + (-1)(1-x)^{-2} \cdot (-1) \\
&= \dfrac{1}{(1-x)^2}
\end{align*}
몫의 미분법 특유의 분자에서 벌어지는 복잡한 뺄셈 싸움을 원천적으로 회피하는 우아한 시각입니다.