💡정답 및 해설 펼쳐보기
1) $0 < x < 1$ 일 때
$n \to \infty$일 때 $x^n \to 0$입니다.
\begin{align*}
f(x) &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{x^{n+1}+1}{x^{n-1}+x} \\
&= \dfrac{0+1}{0+x} = \dfrac{1}{x}
\end{align*}
따라서 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2$입니다.
2) $x = 1$ 일 때
$n \to \infty$일 때 $x^n \to 1$입니다.
\begin{align*}
f(1) &= \dfrac{1^{n+1}+1}{1^{n-1}+1} \\
&= \dfrac{1+1}{1+1} = \dfrac{2}{2} = 1
\end{align*}
3) $x > 1$ 일 때
$n \to \infty$일 때 $x^n \to \infty$입니다. 분모의 최고차항인 $x^{n-1}$로 분모와 분자를 각각 나눕니다.
\begin{align*}
f(x) &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{x^{n+1}+1}{x^{n-1}+x} \\
&= \lim_{n \to \infty} \dfrac{x^2 + \dfrac{1}{x^{n-1}}}{1 + \dfrac{x}{x^{n-1}}} \\
&= \dfrac{x^2 + 0}{1 + 0} = x^2
\end{align*}
따라서 $f(4) = 4^2 = 16$입니다.
최종적으로 구하는 값은 다음과 같습니다.
\begin{align*}
&f\left(\dfrac{1}{2}\right) + f(1) + f(4) \\
&= 2 + 1 + 16 = 19
\end{align*}
$x^n$의 극한은 $x$의 위치에 따라 다음과 같이 동작합니다.
- $|x| < 1$: 소멸 지대. 곱할수록 크기가 작아져 $0$이 됩니다.
- $x = 1$: 정체 지대. 영원히 $1$을 유지합니다.
- $|x| > 1$: 폭발 지대. 크기가 무한대로 커지므로 최고차항의 계수 비교로 넘어갑니다.
$x=1/2$이면 무한 번 곱한 항은 어차피 먼지($0$)이므로 바로 지워버리십시오. 남는 것은 $1 / x$ 뿐이므로 $2$입니다.
$x=4$이면 엄청나게 커지는 상태이므로 뒤에 더해진 $1$이나 $x$는 티끌입니다. 덩치가 가장 큰 $x^{n+1} / x^{n-1}$ 만 쳐다보면 바로 $x^2$이 되어 $16$임을 도출할 수 있습니다. 무한의 세계에서 메인 플레이어만 골라내는 눈을 가지십시오.