[이충고 고3 2026년] [18번] 조건을 만족하는 수열의 극한

등비수열 $r^n$이 수렴할 조건은 $-1 < r \le 1$입니다. 주어진 두 극한이 모두 존재하고 그 값이 같아지는 조건을 꼼꼼히 따져봅시다. 계산의 편의를 위해 $k = a+b$라고 둡니다. $a, b$가 정수이므로 $k$ 역시 정수입니다. [Step 1] 조건 (가) 분석 – 극한의 존재
첫 번째 극한 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} |b|k^n$이 수렴해야 합니다.
$b=0$이면 값은 무조건 $0$입니다.
$b \neq 0$이면 $k^n$이 수렴해야 하므로 $-1 < k \le 1$입니다. $k$는 정수이므로 $k = 0$ 또는 $k = 1$입니다. 두 번째 극한 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{2k-10}{m} \right|^n$이 수렴해야 합니다. 절댓값이므로 공비의 범위는 $0 \le \left| \dfrac{2k-10}{m} \right| \le 1$이어야 합니다. [Step 2] 조건 (나) 분석 – 극한값이 같은 경우
두 극한값을 각각 $L_1, L_2$라고 할 때, $L_1 = L_2$가 되는 경우를 $b=0$일 때와 $b \neq 0$일 때로 나눕니다.

Case 1. $b=0$ 인 경우
(주의: $b = 0$ 이면 수열 자체가 $0 \cdot a^n = 0$ 인 ‘영원히 $0$인 상수 수열’이 됩니다. 따라서 $a$의 크기(공비)와 무관하게 극한값 $L_1$ 은 무조건 $0$으로 존재합니다.)
이때 $k = a$이고, $L_1 = 0$입니다.
$L_1 = L_2$가 되려면 $L_2 = 0$이어야 합니다. 공비의 절댓값이 $1$보다 작아야 하므로,
\begin{align*}
&\left| \dfrac{2a-10}{m} \right| < 1 \\ &= -m < 2a-10 < m \\ &= 10-m < 2a < 10+m \end{align*} $m$값에 따라 이를 만족하는 정수 $a$의 개수가 곧 순서쌍 $(a,0)$의 개수입니다. Case 2. $b \neq 0$ 인 경우
$k$는 $0$ 또는 $1$이어야 합니다.
1) $k=0$일 때: $L_1 = 0$입니다. $L_2 = \displaystyle\lim \left| \dfrac{-10}{m} \right|^n$.
$L_2$가 $0$이 되려면 $m > 10$이어야 하는데, $m \le 10$이므로 조건을 만족하는 해가 없습니다.
2) $k=1$일 때: $L_1 = |b| \cdot 1^n = |b|$입니다.
$L_2 = \displaystyle\lim \left| \dfrac{2(1)-10}{m} \right|^n = \displaystyle\lim \left( \dfrac{8}{m} \right)^n$.
$L_1 \ge 1$이므로 $L_2$ 역시 $0$이 아닌 수렴값을 가져야 합니다. 즉, 공비가 $1$이어야 하므로 $m=8$입니다.
$m=8$이면 $L_2 = 1$이 되고, $L_1 = L_2$에서 $|b| = 1$이므로 $b = 1$ 또는 $b = -1$입니다.
$k = a+b = 1$이므로, $b=1 \implies a=0$, $b=-1 \implies a=2$. (순서쌍 2개 추가)

[Step 3] 총 순서쌍의 개수가 9개인 $m$ 찾기
각 자연수 $m$에 대하여 $b=0$일 때의 개수와 $b \neq 0$일 때의 개수를 더합니다.

• $m=8$: $2 < 2a < 18 \implies a=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ ($7$개). 여기에 Case 2의 $2$개를 더해 총 $9$개입니다.
• $m=9$: $1 < 2a < 19 \implies a=1, 2, \dots, 8, 9$ ($9$개). Case 2는 없으므로 총 $9$개입니다.
• $m=10$: $0 < 2a < 20 \implies a=1, 2, \dots, 8, 9$ ($9$개). Case 2는 없으므로 총 $9$개입니다.

따라서 순서쌍의 개수가 $9$개인 $m$의 값은 $8, 9, 10$이며, 모든 $m$의 값의 합은 $8+9+10 = 27$입니다.