어느 장학 재단에서 $18$억 원의 기금을 조성하여 매년 초에 기금을 운용하여 연말까지 $10\%$의 이익을 내고, 기금과 이익을 합한 금액의 $20\%$를 매년 말에 장학금으로 지급하려고 한다. 장학금 지급 후 남은 금액을 기금으로 하여 기금의 운용과 장학금의 지급을 매년 이와 같은 방법으로 실시할 계획이다. 기금을 조성한 후 $n$번째 해에 지급하는 장학금을 $a_n$억 원이라고 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$의 값은?
①$11$
②$22$
③$33$
④$44$
⑤$55$
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✔ 정답 ③
📝 정석 풀이
매년 일정한 비율로 증감하는 기금 문제는 첫째항과 공비를 정확히 찾아 무한등비급수 공식에 대입하는 것이 핵심입니다.
[1년 차]
초기 기금: $18$억 원
연말 총액 ($10\%$ 이익): $18 \times \left(1 + \dfrac{10}{100}\right) = 18 \times 1.1$억 원
지급되는 장학금 $a_1$: 총액의 $20\%$이므로
\begin{align*}
a_1 &= 18 \times 1.1 \times 0.2 \\
&= 19.8 \times 0.2 = 3.96
\end{align*}
[2년 차로 넘어가는 기금]
장학금 지급 후 남은 금액은 전체의 $80\%$입니다.
남은 기금: $18 \times 1.1 \times 0.8 = 18 \times 0.88$억 원
즉, 매년 종잣돈이 $1.1 \times 0.8 = 0.88$ 배로 변동합니다.
장학금 $a_n$ 역시 기금에 비례하므로 공비 $r = 0.88$인 등비수열을 이룹니다.
$a_n = 3.96 \times (0.88)^{n-1}$
이제 무한등비급수의 합 $S$를 구합니다.
\begin{align*}
S &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n \\
&= \dfrac{a_1}{1 – r} \\
&= \dfrac{3.96}{1 – 0.88} \\
&= \dfrac{3.96}{0.12} = 33
\end{align*}
따라서 총 장학금의 합은 $33$억 원입니다.
📘 관련 개념 및 공식
무한등비급수의 수렴과 합
일정한 비율(공비 $r$)로 증감하는 수열을 무한히 더할 때, $|r|<1$이면 그 총합은 한없이 커지지 않고 유한한 값으로 수렴합니다. $$ \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \dfrac{a}{1 - r} $$ 여기서 $a$는 '실제로 처음 발생한 값(첫째항)', $r$은 '매 턴마다 보존되는 비율'입니다.
일정한 비율(공비 $r$)로 증감하는 수열을 무한히 더할 때, $|r|<1$이면 그 총합은 한없이 커지지 않고 유한한 값으로 수렴합니다. $$ \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \dfrac{a}{1 - r} $$ 여기서 $a$는 '실제로 처음 발생한 값(첫째항)', $r$은 '매 턴마다 보존되는 비율'입니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
이 문제는 복잡한 수열의 나열 없이도 전체 구조만 관찰하면 한 줄로 꿰뚫을 수 있습니다.
재단 입장에서 매년 벌어들이는 이익 배율은 $\times 1.1$, 남기는 배율은 $\times 0.8$입니다.
따라서 실질적인 자산 보존율은 $1.1 \times 0.8 = 0.88$ ($88\%$)입니다.
매년 원금이 $12\%$씩 깎여나가는 것과 완벽히 동일하므로, “언젠가는 기금이 $0$으로 소진될 것”임을 알 수 있습니다.
결국 이 무한급수는 첫 장학금 액수를 그 소모율($1-0.88 = 0.12$)로 나누어주는 행위 자체에 불과합니다. $3.96 \div 0.12 = 33$.
재단 입장에서 매년 벌어들이는 이익 배율은 $\times 1.1$, 남기는 배율은 $\times 0.8$입니다.
따라서 실질적인 자산 보존율은 $1.1 \times 0.8 = 0.88$ ($88\%$)입니다.
매년 원금이 $12\%$씩 깎여나가는 것과 완벽히 동일하므로, “언젠가는 기금이 $0$으로 소진될 것”임을 알 수 있습니다.
결국 이 무한급수는 첫 장학금 액수를 그 소모율($1-0.88 = 0.12$)로 나누어주는 행위 자체에 불과합니다. $3.96 \div 0.12 = 33$.