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루트는 지수 $\dfrac{1}{2}$이므로 로그 밖으로 내보내고, 분수는 뺄셈으로 분리합니다.
\begin{align*}
f(x) &= \ln \left( \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \{ \ln(1+\sin x) – \ln(1-\sin x) \}
\end{align*}
이제 합성함수 미분법을 적용하여 가볍게 미분합니다. $\ln(\text{네모})$의 미분은 $\dfrac{\text{네모}’}{\text{네모}}$입니다.
\begin{align*}
f'(x) &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\cos x}{1+\sin x} – \dfrac{-\cos x}{1-\sin x} \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \cos x \left( \dfrac{1}{1+\sin x} + \dfrac{1}{1-\sin x} \right)
\end{align*}
통분하여 식을 정리합니다.
\begin{align*}
f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cos x \left( \dfrac{(1-\sin x) + (1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \cos x \left( \dfrac{2}{1-\sin^2 x} \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \cos x \left( \dfrac{2}{\cos^2 x} \right) \\
&= \dfrac{1}{\cos x} = \sec x
\end{align*}
도함수가 경이로울 정도로 간단해졌습니다. 이제 $x = \dfrac{\pi}{4}$를 대입합니다.
\begin{align*}
f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\cos(\pi/4)} \\
&= \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}
\end{align*}
$\ln\left(\dfrac{A}{B}\right)$나 $\ln(A^n)$ 꼴을 미분할 때, 체인 룰을 그대로 들이밀면 분모에 $B/A$가 들어가고 곱의 미분까지 얽혀 계산 실수가 폭발합니다. 수학은 덜 피곤해지기 위해 규칙을 만드는 학문입니다. 미분 기호를 들이대기 전에 반드시 $\ln A – \ln B$ 형태로 안전하게 격벽을 친 뒤 미분하십시오.
대학 미적분학이나 심화 과정에서는 $\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$ 라는 유명한 공식을 배웁니다.
실제로 $\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$의 분모, 분자에 $(1+\sin x)$를 곱해보십시오.
$$ \sqrt{\dfrac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}} = \sqrt{\dfrac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}} = \dfrac{1+\sin x}{\cos x} = \sec x + \tan x $$
결국 주어진 함수는 $f(x) = \ln(\sec x + \tan x)$와 완벽하게 동급이었습니다! 이 배경지식이 있었다면, 도함수가 $\sec x$라는 것을 $1$초 만에 꿰뚫어보고 곧바로 $\sec(\pi/4) = \sqrt{2}$를 찍을 수 있었을 것입니다.