[이충고 고3 2026년] [11번] 미분계수의 정의와 합성함수의 미분

계산의 편의를 위해 합성함수 $g(f(x))$를 하나의 함수 $h(x)$로 치환합니다.
$$ h(x) = g(f(x)) = e^{\cos 2x} $$
우선 $x \to \dfrac{\pi}{6}$일 때 분자식의 값이 $0$이 되는지 확인합니다.
\begin{align*}
h\left(\dfrac{\pi}{6}\right) &= e^{\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)} = e^{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} \\
&= e^{1/2} = \sqrt{e}
\end{align*}
따라서 주어진 극한식은 미분계수의 정의 그 자체입니다.
\begin{align*}
&\lim_{x \to \dfrac{\pi}{6}} \dfrac{h(x) – h\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{x – \dfrac{\pi}{6}} = h’\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
\end{align*}

이제 합성함수 미분법(연쇄법칙)을 사용하여 $h'(x)$를 구합니다.
\begin{align*}
h'(x) &= \dfrac{d}{dx} \left( e^{\cos 2x} \right) \\
&= e^{\cos 2x} \cdot (\cos 2x)’ \\
&= e^{\cos 2x} \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)’ \\
&= -2 \sin 2x \cdot e^{\cos 2x}
\end{align*}

마지막으로 $x = \dfrac{\pi}{6}$을 대입합니다.
\begin{align*}
h’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) &= -2 \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \cdot e^{\cos(\pi/3)} \\
&= -2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot e^{1/2} \\
&= -\sqrt{3} \cdot \sqrt{e} = -\sqrt{3e}
\end{align*}