💡정답 및 해설 펼쳐보기
\begin{align*}
&\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) – f(1-h)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \dfrac{\{f(1+h) – f(1)\} – \{f(1-h) – f(1)\}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) – f(1)}{h} – \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1-h) – f(1)}{h}
\end{align*}
두 번째 극한의 분모를 $-h$로 맞춰주기 위해 식을 조정합니다.
\begin{align*}
&= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) – f(1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1-h) – f(1)}{-h} \\
&= f'(1) + f'(1) \\
&= 2f'(1)
\end{align*}
이제 함수 $f(x) = \log_2 x$를 미분하여 $f'(1)$을 구합니다. 밑이 $2$인 로그함수의 미분법을 적용합니다.
$$ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 2} $$
따라서, $f'(1) = \dfrac{1}{1 \cdot \ln 2} = \dfrac{1}{\ln 2}$입니다.
최종적으로 $2f'(1) = 2 \times \dfrac{1}{\ln 2} = \dfrac{2}{\ln 2}$가 됩니다.
$1+h$와 $1-h$는 $x=1$을 기준으로 정확히 좌우 대칭인 두 점입니다. 이 두 점을 연결한 직선(할선)의 기울기는, 극한을 취할 경우 한가운데 점인 $x=1$에서의 접선의 기울기의 정확히 2배가 됩니다. (분모가 $2h$가 아니라 $h$이기 때문에 $2$배로 증폭됩니다.)
2. 일반 로그함수의 도함수:
$y = \log_a x \implies y’ = \dfrac{1}{x \ln a}$
자연로그가 아닌 경우 꼬리표처럼 분모에 $\ln a$가 달라붙는다는 것을 잊지 마십시오.
분모를 미분하면 $1$이 되고, 분자를 합성함수 미분법으로 미분하면 $f'(1+h) \cdot 1 – f'(1-h) \cdot (-1) = f'(1+h) + f'(1-h)$가 됩니다.
여기에 $h=0$을 대입하면 $f'(1) + f'(1) = 2f'(1)$이 바로 튀어나옵니다. 수식 조작에 에너지를 빼앗기지 않고 즉각적으로 미분계수로 변환하는 강력한 무기입니다.