미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(5)=1, f'(5)=-3$을 만족시킬 때, 함수 $g(x) = \dfrac{x^2+1}{f(x)}$에 대하여 $g'(5)$의 값은?
①$68$
②$73$
③$78$
④$83$
⑤$88$
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✔ 정답 ⑤
📝 정석 풀이
주어진 함수 $g(x) = \dfrac{x^2+1}{f(x)}$를 미분하기 위해 몫의 미분법을 적용합니다.
\begin{align*}
g'(x) &= \dfrac{(x^2+1)’ \cdot f(x) – (x^2+1) \cdot f'(x)}{\{f(x)\}^2} \\
&= \dfrac{2x \cdot f(x) – (x^2+1) \cdot f'(x)}{\{f(x)\}^2}
\end{align*}
이제 $x=5$를 식에 조심스럽게 대입합니다. 문제의 조건에서 $f(5)=1, f'(5)=-3$이라고 주어졌습니다.
\begin{align*}
g'(5) &= \dfrac{2(5) \cdot f(5) – (5^2+1) \cdot f'(5)}{\{f(5)\}^2} \\
&= \dfrac{10 \cdot (1) – 26 \cdot (-3)}{1^2} \\
&= \dfrac{10 – (-78)}{1} \\
&= 10 + 78 = 88
\end{align*}
📘 관련 개념 및 공식
몫의 미분법:
$$ \left\{ \dfrac{u(x)}{v(x)} \right\}’ = \dfrac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{\{v(x)\}^2} $$
이 공식은 단순히 암기하는 것이 아니라, 구조를 가만히 들여다보면 변화율의 본질이 보입니다. 분자에는 ‘곱의 미분법’과 매우 유사한 형태가 들어가되, 분수라는 특성 때문에 더하기($+$)가 아닌 빼기($-$) 기호가 자리 잡습니다. “미분하고 그대로 빼기 그대로 미분하고!” 리듬을 타고 분자 부분을 읊어보십시오.
$$ \left\{ \dfrac{u(x)}{v(x)} \right\}’ = \dfrac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{\{v(x)\}^2} $$
이 공식은 단순히 암기하는 것이 아니라, 구조를 가만히 들여다보면 변화율의 본질이 보입니다. 분자에는 ‘곱의 미분법’과 매우 유사한 형태가 들어가되, 분수라는 특성 때문에 더하기($+$)가 아닌 빼기($-$) 기호가 자리 잡습니다. “미분하고 그대로 빼기 그대로 미분하고!” 리듬을 타고 분자 부분을 읊어보십시오.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
몫의 미분법 공식이 순간적으로 헷갈린다면, 이를 분수 꼴이 아닌 곱의 형태로 끌어올려 생각하는 유연함이 필요합니다.
$g(x) = (x^2+1) \cdot \{f(x)\}^{-1}$ 로 생각하고 곧바로 곱의 미분법과 합성함수 미분법을 연달아 쳐보십시오.
$g'(x) = 2x \cdot \{f(x)\}^{-1} + (x^2+1) \cdot (-1)\{f(x)\}^{-2} \cdot f'(x)$
이 식에 그대로 $x=5$를 대입해도 $10 \cdot (1) – 26 \cdot (1) \cdot (-3) = 88$이 똑같이 우아하게 도출됩니다. 분수라는 틀에 갇히지 않으면 실수를 원천 차단할 수 있습니다.
$g(x) = (x^2+1) \cdot \{f(x)\}^{-1}$ 로 생각하고 곧바로 곱의 미분법과 합성함수 미분법을 연달아 쳐보십시오.
$g'(x) = 2x \cdot \{f(x)\}^{-1} + (x^2+1) \cdot (-1)\{f(x)\}^{-2} \cdot f'(x)$
이 식에 그대로 $x=5$를 대입해도 $10 \cdot (1) – 26 \cdot (1) \cdot (-3) = 88$이 똑같이 우아하게 도출됩니다. 분수라는 틀에 갇히지 않으면 실수를 원천 차단할 수 있습니다.