$\sin \theta = \dfrac{4}{5} \ \left(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi \right)$일 때, $\sin 2\theta$의 값은?
①$-\dfrac{29}{25}$
②$-\dfrac{24}{25}$
③$-\dfrac{19}{25}$
④$-\dfrac{14}{25}$
⑤$-\dfrac{9}{25}$
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✔ 정답 ②
📝 정석 풀이
$\theta$가 제$2$사분면의 각($\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$)이므로 $\cos \theta < 0$입니다.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$을 이용하여 $\cos \theta$를 구합니다.
\begin{align*}
\cos^2 \theta &= 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25} \\
\cos \theta &= -\dfrac{3}{5} \quad (\because \cos \theta < 0)
\end{align*}
이제 삼각함수의 덧셈정리(배각 공식)를 이용하여 $\sin 2\theta$를 계산합니다.
\begin{align*}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \\
&= 2 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right) \\
&= -\dfrac{24}{25}
\end{align*}
📘 관련 개념 및 공식
1. 삼각함수의 배각 공식:
$$ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $$
이는 덧셈정리 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$에서 $\alpha = \beta = \theta$를 대입하여 유도된 필연적인 결과입니다.
$$ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $$
이는 덧셈정리 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$에서 $\alpha = \beta = \theta$를 대입하여 유도된 필연적인 결과입니다.
2. 직관적인 단위원 그림:
각 사분면에서의 부호를 고민할 필요 없이, 직각삼각형 하나를 좌표평면 위에 그려버리면 헷갈릴 일이 없습니다.
그림을 보면 빗변은 $5$, $y$축 높이(사인)는 $4$, $x$축 길이(코사인)는 기하학적 위치에 의해 자연스럽게 $-3$이 됩니다. 피타고라스의 수 $3:4:5$ 비율을 알고 있다면 계산할 필요도 없습니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
수능에 빈출되는 $3, 4, 5$ 비율의 직각삼각형입니다. $\sin \theta = \dfrac{4}{5}$를 보자마자 “코사인의 크기는 당연히 $\dfrac{3}{5}$이겠군!”이라고 반사적으로 튀어나와야 합니다. 부호만 제$2$사분면(코사인은 음수)에 맞게 챙겨주어 바로 $2 \times \dfrac{4}{5} \times \left(-\dfrac{3}{5}\right)$를 암산하는 것이 실전적 감각입니다.