💡정답 및 해설 펼쳐보기
\begin{align*}
f'(x) &= (e^x)’ \sin x + e^x (\sin x)’ \\
&= e^x \sin x + e^x \cos x \\
&= e^x (\sin x + \cos x)
\end{align*}
$f'(x) = 0$이 되려면 $e^x (\sin x + \cos x) = 0$이어야 합니다.
지수함수 $e^x$는 항상 양수이므로, 반드시 $\sin x + \cos x = 0$이어야 합니다.
이 식을 변형하면,
\begin{align*}
&\sin x = -\cos x \\
&\tan x = -1 \quad (\because \cos x \neq 0)
\end{align*}
범위가 $0 < x < 2\pi$이므로, $\tan x = -1$을 만족하는 해를 구합니다. 제$2$사분면에서 $x_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3}{4}\pi$ 제$4$사분면에서 $x_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7}{4}\pi$ 따라서 모든 $x$값의 합은 $\dfrac{3}{4}\pi + \dfrac{7}{4}\pi = \dfrac{10}{4}\pi = \dfrac{5}{2}\pi$입니다.
두 함수가 곱해진 형태의 도함수는 각자를 한 번씩 미분하여 번갈아 더해주는 리듬을 갖습니다.
$$ \{u(x)v(x)\}’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$
특히 $e^x$는 미분해도 자기 자신이 나오므로, $e^x$로 묶어내면 식의 구조가 매우 아름답게 정리됩니다.
2. 삼각방정식 $\sin x = -\cos x$의 기하학적 해석:
수식으로 $\tan x = -1$을 풀어도 되지만, 그래프 교점을 떠올리는 것이 실수 방지에 좋습니다.
방정식 $\sin x + \cos x = 0$ 의 대칭성 및 탄젠트 함수의 주기성($\pi$)에 의해 두 근의 간격은 정확히 $\pi$입니다. 따라서 평균을 내거나 기하학적 성질을 이용하면 두 근을 굳이 계산하지 않고도 대칭축의 $2$배, 즉 $\displaystyle 2 \times \dfrac{5}{4}\pi = \dfrac{5}{2}\pi$로 직행할 수 있습니다.