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첫 번째 식: $\dfrac{8^x}{2^{x+y}}=32$
밑을 $2$로 통일하면 $8 = 2^3$이고 $32 = 2^5$이므로,
$\dfrac{(2^3)^x}{2^{x+y}} = 2^5 \implies \dfrac{2^{3x}}{2^{x+y}} = 2^5$
지수법칙에 의해 나눗셈은 지수의 뺄셈이 되므로,
$2^{3x – (x+y)} = 2^5 \implies 3x – x – y = 5 \implies 2x – y = 5 \quad \cdots \text{㉠}$
두 번째 식: $\dfrac{9^{x+y}}{3^{4y}}=81$
밑을 $3$으로 통일하면 $9 = 3^2$이고 $81 = 3^4$이므로,
$\dfrac{(3^2)^{x+y}}{3^{4y}} = 3^4 \implies \dfrac{3^{2x+2y}}{3^{4y}} = 3^4$
마찬가지로 지수의 뺄셈을 적용하면,
$3^{(2x+2y) – 4y} = 3^4 \implies 2x – 2y = 4 \implies x – y = 2 \quad \cdots \text{㉡}$
이제 ㉠과 ㉡을 연립하여 풉니다.
\begin{align*}
2x – y &= 5 \\
-)\ x – y &= 2 \\
\hline
x &= 3
\end{align*}
$x=3$을 ㉡에 대입하면 $3 – y = 2 \implies y = 1$
해를 $x=p, y=q$라 하였으므로 $p=3, q=1$입니다.
따라서 구하는 식의 값은 $3pq = 3 \times 3 \times 1 = 9$ 입니다.
두 번째 식 $x-y=2$ 를 구하는 순간, 첫 번째 식인 $2x-y=5$ 를 곧이곧대로 가감법 할 필요가 없습니다.
$2x-y = x + (x-y)$ 로 쪼개어 볼 수 있는 시야가 필요합니다.
$x + (x-y) = x + 2 = 5$ 가 되므로 $x=3$ 이 암산으로 즉각 튀어나옵니다.
수학은 단순히 식을 나열하는 노동이 아니라, 내가 이미 알고 있는 블록($x-y=2$)을 복잡한 식 안에 대입하여 구조를 단숨에 붕괴시키는 지적인 유희입니다.