어느 중학교의 작년 2학년 학생 수는 $330$명이었다. 올해는 작년에 비하여 2학년 남학생 수는 $20 \text{ \%}$ 증가하고, 2학년 여학생 수는 $10 \text{ \%}$ 감소하여 $342$명이 되었다. 올해의 2학년 남학생 수는?
①$150$명
②$160$명
③$170$명
④$180$명
⑤$190$명
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✔ 정답 ④
📝 정석 풀이
작년의 남학생 수를 $x$, 여학생 수를 $y$라고 설정합니다.
총 학생 수에 대한 식: $x + y = 330 \quad \cdots \text{㉠}$
학생 수의 증감에 대한 식을 세우는 것이 계산이 편합니다. (증가한 남학생 수 – 감소한 여학생 수 = 전체 학생의 변화량)
$\dfrac{20}{100}x – \dfrac{10}{100}y = 342 – 330 = 12$
양변에 $10$을 곱하여 정리합니다.
$2x – y = 120 \quad \cdots \text{㉡}$
㉠과 ㉡을 변끼리 더합니다.
$(x+y) + (2x-y) = 330 + 120$
$3x = 450 \implies x = 150$ (작년 남학생 수)
문제에서 구하려는 것은 올해의 남학생 수이므로 $20 \text{ \%}$ 증가한 값을 계산해야 합니다.
올해 남학생 수 = $150 \times \left(1 + \dfrac{20}{100}\right) = 150 \times 1.2 = 180$명.
총 학생 수에 대한 식: $x + y = 330 \quad \cdots \text{㉠}$
학생 수의 증감에 대한 식을 세우는 것이 계산이 편합니다. (증가한 남학생 수 – 감소한 여학생 수 = 전체 학생의 변화량)
$\dfrac{20}{100}x – \dfrac{10}{100}y = 342 – 330 = 12$
양변에 $10$을 곱하여 정리합니다.
$2x – y = 120 \quad \cdots \text{㉡}$
㉠과 ㉡을 변끼리 더합니다.
$(x+y) + (2x-y) = 330 + 120$
$3x = 450 \implies x = 150$ (작년 남학생 수)
문제에서 구하려는 것은 올해의 남학생 수이므로 $20 \text{ \%}$ 증가한 값을 계산해야 합니다.
올해 남학생 수 = $150 \times \left(1 + \dfrac{20}{100}\right) = 150 \times 1.2 = 180$명.
📘 관련 개념 및 공식
비율(증감률) 관련 연립방정식 문제는 두 가지 방식으로 식을 세울 수 있습니다.
1) 올해 학생 수 전체 식: $1.2x + 0.9y = 342$ (식이 커서 계산 실수가 잦음)
2) 순수 증감량 식: $+0.2x – 0.1y = +12$ (계수가 단순해져 훨씬 유리함)
항상 두 번째 방법을 사용하여 변화된 인원수 자체로만 뼈대를 구축하는 습관을 들이십시오.
1) 올해 학생 수 전체 식: $1.2x + 0.9y = 342$ (식이 커서 계산 실수가 잦음)
2) 순수 증감량 식: $+0.2x – 0.1y = +12$ (계수가 단순해져 훨씬 유리함)
항상 두 번째 방법을 사용하여 변화된 인원수 자체로만 뼈대를 구축하는 습관을 들이십시오.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
문제를 꿰뚫는 강력한 무기는 ‘자연수 조건(디오판토스 방정식의 원리)’입니다.
사람 수는 절대 분수나 소수가 될 수 없습니다.
올해 남학생 수는 작년 남학생 $x$명에서 $20 \text{ \%}\left( \dfrac{1}{5} \right)$가 증가한 것이므로, 올해 남학생 수는 $x + \dfrac{1}{5}x = \dfrac{6}{5}x$ 가 됩니다.
이 값이 사람이므로 반드시 온전한 정수여야 합니다. 즉, 정답은 필연적으로 $6$의 배수여야만 합니다!
선지를 봅니다.
① $150$: $6$의 배수 (O)
② $160$: $6$의 배수 (X)
③ $170$: $6$의 배수 (X)
④ $180$: $6$의 배수 (O)
⑤ $190$: $6$의 배수 (X)
후보가 ①과 ④로 압축됩니다. 만약 ①번 $150$명이 올해 남학생이라면, 작년 $x=125$명입니다. 작년 총 $330$명이므로 작년 여학생은 $205$명이 됩니다. 그런데 여학생 $10 \text{ \%}$ 감소치인 $205 \times 0.1 = 20.5$명이 사람이 쪼개지는 끔찍한 결과가 나옵니다!
따라서 볼 것도 없이 완벽한 자연수 인원을 보장하는 ④번 $180$명이 논리적, 필연적 정답입니다. 식을 하나도 쓰지 않고도 답이 보입니다.
사람 수는 절대 분수나 소수가 될 수 없습니다.
올해 남학생 수는 작년 남학생 $x$명에서 $20 \text{ \%}\left( \dfrac{1}{5} \right)$가 증가한 것이므로, 올해 남학생 수는 $x + \dfrac{1}{5}x = \dfrac{6}{5}x$ 가 됩니다.
이 값이 사람이므로 반드시 온전한 정수여야 합니다. 즉, 정답은 필연적으로 $6$의 배수여야만 합니다!
선지를 봅니다.
① $150$: $6$의 배수 (O)
② $160$: $6$의 배수 (X)
③ $170$: $6$의 배수 (X)
④ $180$: $6$의 배수 (O)
⑤ $190$: $6$의 배수 (X)
후보가 ①과 ④로 압축됩니다. 만약 ①번 $150$명이 올해 남학생이라면, 작년 $x=125$명입니다. 작년 총 $330$명이므로 작년 여학생은 $205$명이 됩니다. 그런데 여학생 $10 \text{ \%}$ 감소치인 $205 \times 0.1 = 20.5$명이 사람이 쪼개지는 끔찍한 결과가 나옵니다!
따라서 볼 것도 없이 완벽한 자연수 인원을 보장하는 ④번 $180$명이 논리적, 필연적 정답입니다. 식을 하나도 쓰지 않고도 답이 보입니다.