영희는 갈 때는 분속 $80\text{ m}$, 올 때는 분속 $100\text{ m}$로 걸어서 마트에 다녀오려고 한다. 집에서 마트까지의 거리는 아래 표와 같고 물건을 사는데 $10$분이 걸린다면 총 $40$분 이내에 다녀올 수 있는 마트는 모두 몇 개인가?
| A마트 | $800\text{ m}$ |
| B마트 | $1.3\text{ km}$ |
| C마트 | $2\text{ km}$ |
| D마트 | $1400\text{ m}$ |
①$0$개
②$1$개
③$2$개
④$3$개
⑤$4$개
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✔ 정답 ③
📝 정석 풀이
집에서 마트까지의 거리를 $x\text{ m}$라고 미지수를 설정합니다.
문제의 조건에 따르면 `(갈 때 걸린 시간) + (물건 사는 시간) + (올 때 걸린 시간)`의 총합이 $40$분 이하가 되어야 합니다.
시간 구하는 공식 $\left(\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}\right)$을 이용해 부등식을 세웁니다.
$$\dfrac{x}{80} + 10 + \dfrac{x}{100} \le 40$$
양변에서 $10$을 빼서 정리합니다.
$$\dfrac{x}{80} + \dfrac{x}{100} \le 30$$
분모 $80$과 $100$의 최소공배수인 $400$을 양변에 곱합니다.
$$5x + 4x \le 12000$$
$$9x \le 12000 \implies x \le \dfrac{12000}{9} = \dfrac{4000}{3}$$
$\dfrac{4000}{3} = 1333.33\dots$ 이므로, 다녀올 수 있는 최대 거리는 약 $1333\text{ m}$ 입니다.
문제의 조건에 따르면 `(갈 때 걸린 시간) + (물건 사는 시간) + (올 때 걸린 시간)`의 총합이 $40$분 이하가 되어야 합니다.
시간 구하는 공식 $\left(\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}\right)$을 이용해 부등식을 세웁니다.
$$\dfrac{x}{80} + 10 + \dfrac{x}{100} \le 40$$
양변에서 $10$을 빼서 정리합니다.
$$\dfrac{x}{80} + \dfrac{x}{100} \le 30$$
분모 $80$과 $100$의 최소공배수인 $400$을 양변에 곱합니다.
$$5x + 4x \le 12000$$
$$9x \le 12000 \implies x \le \dfrac{12000}{9} = \dfrac{4000}{3}$$
$\dfrac{4000}{3} = 1333.33\dots$ 이므로, 다녀올 수 있는 최대 거리는 약 $1333\text{ m}$ 입니다.
이제 표에 주어진 각 마트까지의 거리를 미터($\text{m}$) 단위로 통일하여 환산 비교합니다.
A마트: $800\text{ m} \le 1333\text{ m}$ (다녀올 수 있음)
B마트: $1.3\text{ km} = 1300\text{ m} \le 1333\text{ m}$ (다녀올 수 있음)
C마트: $2\text{ km} = 2000\text{ m}$ (불가능)
D마트: $1400\text{ m}$ (불가능)
따라서 주어진 시간 내에 다녀올 수 있는 마트는 A마트, B마트로 총 $2$개입니다.
📘 관련 개념 및 공식
일차부등식의 활용 중 거리(D), 속력(V), 시간(T) 문제는 거북이 등껍질(무당벌레) 공식을 기억하면 식 세우기가 편합니다.
– $\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}$
– $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$
– $\text{속력} = \dfrac{\text{거리}}{\text{시간}}$
또한 단위가 섞여 있을 때(예: 분속 $\text{m}$와 $\text{km}$) 반드시 단위를 하나로 통일($1\text{ km} = 1000\text{ m}$)하는 것이 오답을 피하는 가장 중요한 원칙입니다.
– $\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}$
– $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$
– $\text{속력} = \dfrac{\text{거리}}{\text{시간}}$
또한 단위가 섞여 있을 때(예: 분속 $\text{m}$와 $\text{km}$) 반드시 단위를 하나로 통일($1\text{ km} = 1000\text{ m}$)하는 것이 오답을 피하는 가장 중요한 원칙입니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
미지수 $x$를 세워 분수 방정식을 풀지 않고 ‘속력과 시간의 반비례 관계’라는 물리적 통찰만으로 암산해 보겠습니다.
이동에 순수하게 쓸 수 있는 시간은 (총 $40$분 – 쇼핑 $10$분) = $30$분입니다.
갈 때와 올 때의 ‘속력의 비’가 $80 : 100 = 4 : 5$ 이므로, 동일한 거리를 이동할 때 걸리는 ‘시간의 비’는 역수인 $5 : 4$ 가 됩니다.
즉, 총 이동 시간 $30$분을 $5:4$로 비례배분(총 $9$등분)했을 때, 갈 때 차지하는 시간은 $30 \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{150}{9}$ 분입니다.
거리는 (갈 때의 속력 $\times$ 갈 때 걸린 시간) 이므로, $80 \times \dfrac{150}{9} = \dfrac{12000}{9} \approx 1333\text{ m}$ 가 즉시 튀어나옵니다. 복잡한 최소공배수나 이항 과정 없이 수학적 비율의 우아함만으로 한계 거리를 단숨에 확정 짓는 방법입니다.
이동에 순수하게 쓸 수 있는 시간은 (총 $40$분 – 쇼핑 $10$분) = $30$분입니다.
갈 때와 올 때의 ‘속력의 비’가 $80 : 100 = 4 : 5$ 이므로, 동일한 거리를 이동할 때 걸리는 ‘시간의 비’는 역수인 $5 : 4$ 가 됩니다.
즉, 총 이동 시간 $30$분을 $5:4$로 비례배분(총 $9$등분)했을 때, 갈 때 차지하는 시간은 $30 \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{150}{9}$ 분입니다.
거리는 (갈 때의 속력 $\times$ 갈 때 걸린 시간) 이므로, $80 \times \dfrac{150}{9} = \dfrac{12000}{9} \approx 1333\text{ m}$ 가 즉시 튀어나옵니다. 복잡한 최소공배수나 이항 과정 없이 수학적 비율의 우아함만으로 한계 거리를 단숨에 확정 짓는 방법입니다.