다음 표는 $\text{A}, \text{B}$ 두 식품의 $100\text{ g}$당 포함된 열량과 단백질을 나타낸 것이다. 두 식품을 먹어 열량은 $600\text{ kcal}$, 단백질은 $20\text{ g}$을 섭취하려면 식품 $\text{A}$는 몇 $\text{g}$을 먹으면 되는가?
| $\text{A}$ | $\text{B}$ | |
| 열량($\text{kcal}$) | $200$ | $150$ |
| 단백질($\text{g}$) | $4$ | $7$ |
①$50\text{ g}$
②$100\text{ g}$
③$150\text{ g}$
④$200\text{ g}$
⑤$250\text{ g}$
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✔ 정답 ③
📝 정석 풀이
표에 주어진 성분 함량은 $100\text{ g}$을 기준으로 한 것이므로, 미지수를 설정할 때 식품 $\text{A}$를 $100x \text{ g}$, 식품 $\text{B}$를 $100y \text{ g}$ 섭취한다고 두는 것이 소수점 계산을 피하는 현명한 방법입니다. (즉, $100\text{ g}$을 $1$단위로 봅니다.)
열량에 대한 식: $200x + 150y = 600$
단백질에 대한 식: $4x + 7y = 20$
열량 식의 양변을 $50$으로 나누어 간단히 정리합니다.
$4x + 3y = 12$
단백질 식과 계수가 맞추어졌으므로 두 식을 연립하여 뺍니다.
\begin{align*}
4x + 7y &= 20 \\
-)\ 4x + 3y &= 12 \\
\hline
4y &= 8 \implies y = 2
\end{align*}
$y=2$를 $4x + 3y = 12$에 대입하면,
$4x + 6 = 12 \implies 4x = 6 \implies x = 1.5$
우리가 구하려는 식품 $\text{A}$의 섭취량은 $100x \text{ g}$이므로,
$100 \times 1.5 = 150\text{ g}$이 됩니다.
📘 관련 개념 및 공식
성분 함량표 문제에서는 기준 질량(여기서는 $100\text{ g}$)을 $1$ 포션(portion, 단위)으로 설정하는 치환의 원리가 핵심입니다. $1\text{ g}$당으로 환산하여 $2x, 0.04x$ 등으로 식을 세우면 소수점 계산에서 치명적인 실수가 발생할 확률이 매우 높습니다. 덩어리 자체를 하나의 변수로 취급하는 것이 대수학의 기본 테크닉입니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
복잡한 연립방정식을 세우지 않고, 논리적 가설을 통한 교차 검증으로 암산해 보겠습니다.
단백질이 총 $20\text{ g}$ 필요한데, $\text{A}$는 $4\text{ g}$, $\text{B}$는 $7\text{ g}$을 제공합니다.
자연수 포션이 떨어질 가능성이 높은 $\text{B}$를 기준으로 가설을 세워봅니다. 만약 $\text{B}$를 $2$포션($200\text{ g}$) 섭취한다고 가정하면, 여기서 단백질 $14\text{ g}$을 얻게 됩니다.
그러면 남은 단백질은 $6\text{ g}$입니다. $\text{A}$는 $1$포션에 $4\text{ g}$이므로, 남은 $6\text{ g}$을 채우기 위해 $\text{A}$는 정확히 $1.5$포션($150\text{ g}$)이 필요하다는 결론이 나옵니다.
단백질이 총 $20\text{ g}$ 필요한데, $\text{A}$는 $4\text{ g}$, $\text{B}$는 $7\text{ g}$을 제공합니다.
자연수 포션이 떨어질 가능성이 높은 $\text{B}$를 기준으로 가설을 세워봅니다. 만약 $\text{B}$를 $2$포션($200\text{ g}$) 섭취한다고 가정하면, 여기서 단백질 $14\text{ g}$을 얻게 됩니다.
그러면 남은 단백질은 $6\text{ g}$입니다. $\text{A}$는 $1$포션에 $4\text{ g}$이므로, 남은 $6\text{ g}$을 채우기 위해 $\text{A}$는 정확히 $1.5$포션($150\text{ g}$)이 필요하다는 결론이 나옵니다.
이제 이 `$\text{A} = 1.5$단위, $\text{B} = 2$단위’라는 가설 조합이 열량 $600\text{ kcal}$라는 두 번째 조건을 만족하는지 검증만 하면 끝납니다.
$200 \times 1.5 + 150 \times 2 = 300 + 300 = 600$.
완벽하게 일치합니다!
따라서 분수나 소수점이 난무하는 가감법 연산 과정 없이, 직관적인 기준점 설정과 교차 검증만으로 $\text{A}$의 섭취량이 $1.5$포션, 즉 $150\text{ g}$임이 단 몇 초 만에 도출됩니다.