💡정답 및 해설 펼쳐보기
\begin{align*}
m_{\text{OP}} &= \dfrac{\sqrt{\dfrac{2}{n}} – 0}{\dfrac{1}{n} – 0} = \sqrt{\dfrac{2}{n}} \times n \\
&= \sqrt{2n}
\end{align*}
직선 $\text{OP}_n$에 수직인 직선의 기울기를 $m’$이라고 하면, 두 기울기의 곱이 $-1$이어야 하므로
\begin{align*}
m’ &= -\dfrac{1}{\sqrt{2n}}
\end{align*}
이제 수직인 직선의 방정식을 세웁니다. 이 직선은 점 $\text{P}_n$을 지납니다.
\begin{align*}
&y – \sqrt{\dfrac{2}{n}} = -\dfrac{1}{\sqrt{2n}} \left( x – \dfrac{1}{n} \right)
\end{align*}
$y$절편 $a_n$을 구하기 위해 $x=0$을 대입합니다.
\begin{align*}
&a_n – \sqrt{\dfrac{2}{n}} = -\dfrac{1}{\sqrt{2n}} \left( -\dfrac{1}{n} \right) \\
&a_n = \sqrt{\dfrac{2}{n}} + \dfrac{1}{n\sqrt{2n}}
\end{align*}
우리가 구해야 할 극한값은 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}a_n$ 입니다.
\begin{align*}
&\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}a_n \\
&= \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n\sqrt{2n}} \right) \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{2} + \dfrac{1}{n\sqrt{2}} \right)
\end{align*}
$n$이 무한대로 커질 때 $\dfrac{1}{n\sqrt{2}}$는 $0$으로 수렴하므로, 최종 극한값은 $\sqrt{2}$입니다.
좌표평면에서 두 직선이 서로 직교(수직)할 때, 두 직선의 기울기의 곱은 항상 $-1$입니다.
2. 극한의 기하학적 의미 시각화
극한 $n \to \infty$ 상황을 시각적으로 관찰해보면, 문제가 품고 있는 직관을 쉽게 발견할 수 있습니다.
그렇다면 $\text{OP}_n$에 수직인 직선은 거의 $x$축과 나란한 수평선 상태가 됩니다.
수식 $\sqrt{n}a_n = \sqrt{2} + \dfrac{1}{n\sqrt{2}}$ 에서 뒤쪽 항 $\dfrac{1}{n\sqrt{2}}$이 바로 그 “아주 미세하게 기울어진 오차”를 나타냅니다. $n$이 압도적으로 커지면 이 오차는 먼지처럼 사라져 오직 주축인 $\sqrt{2}$만 남게 됨을 극한 식 자체가 증명해주고 있습니다.