💡정답 및 해설 펼쳐보기
\begin{align*}
&\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+b)}{\sin(ax)} = \dfrac{1}{3}
\end{align*}
$x \to 0$일 때 분모 $\sin(ax) \to 0$이므로, 극한값이 존재하려면 분자도 $0$으로 가야 합니다.
\begin{align*}
&\lim_{x \to 0} \ln(x+b) = \ln(b) = 0 \implies b = 1
\end{align*}
이제 $b=1$을 대입하고 삼각함수와 로그함수의 기본 극한 형태를 만들어 줍니다.
\begin{align*}
&\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{\sin(ax)} \\
&= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\ln(x+1)}{x} \cdot \dfrac{ax}{\sin(ax)} \cdot \dfrac{1}{a} \right) \\
&= 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a}
\end{align*}
이 값이 $\dfrac{1}{3}$과 같아야 하므로 $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{3} \implies a = 3$입니다.
따라서 $a+b = 3+1 = 4$입니다.
$x \to 0$일 때, 삼각함수와 자연로그 함수는 특정 일차함수로 치환할 수 있을 만큼 완벽하게 모양이 겹칩니다.
위 그래프에서 볼 수 있듯, 원점 부근에서는 세 그래프가 구별할 수 없을 정도로 찰싹 달라붙습니다.
수식으로 표현하면 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$, $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$이 성립합니다.
- $\sin(ax) \approx ax$
- $\ln(1+x) \approx x$
이를 주어진 식에 곧바로 밀어 넣으면,
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{\sin(ax)} \approx \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{ax} = \dfrac{1}{a} $$
눈으로 보고 곧바로 $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{3} \implies a=3$을 도출해낼 수 있습니다. 불필요한 식 변형이 완벽히 생략됩니다.