두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 4$, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = 5$일 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n b_n – 3b_n)$의 값은?
①$1$
②$2$
③$3$
④$4$
⑤$5$
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✔ 정답 ⑤
📝 정석 풀이
주어진 두 수열이 각각 수렴하므로, 수열의 극한에 대한 기본 성질을 그대로 적용할 수 있습니다.
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} (a_n b_n – 3b_n) &= \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right) \cdot \left( \lim_{n \to \infty} b_n \right) – 3 \left( \lim_{n \to \infty} b_n \right) \\
&= 4 \times 5 – 3 \times 5 \\
&= 20 – 15 = 5
\end{align*}
📘 관련 개념 및 공식
수렴하는 극한의 분배:
두 수열이 ‘수렴’한다는 전제조건이 깔려 있다면, 리미트 기호($\displaystyle\lim$)는 사칙연산($+,-,\times,\div$)에 대하여 마치 분배법칙처럼 식 안으로 침투할 수 있습니다. (단, 나눌 때는 분모의 극한값이 $0$이 아니어야 합니다.)
두 수열이 ‘수렴’한다는 전제조건이 깔려 있다면, 리미트 기호($\displaystyle\lim$)는 사칙연산($+,-,\times,\div$)에 대하여 마치 분배법칙처럼 식 안으로 침투할 수 있습니다. (단, 나눌 때는 분모의 극한값이 $0$이 아니어야 합니다.)
⚡ 직관적 통찰 및 비법
$n$이 무한대로 가면 $a_n$은 이미 $4$라는 숫자로, $b_n$은 $5$라는 숫자로 굳어져 있는 상태입니다. 따라서 식 내부의 변수를 망설임 없이 상수로 취급하여 대입해 버리면 그만입니다. $4 \times 5 – 3 \times 5 = 5$. 수학적 엄밀함을 따지기 전에 이미 답이 눈앞에 나와 있는 보너스 문제입니다.