급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$의 합은?
①$1$
②$2$
③$3$
④$4$
⑤$5$
💡정답 및 해설 펼쳐보기
✔ 정답 ①
📝 정석 풀이
급수를 구하기 위해서는 먼저 부분합 $S_n$을 구한 뒤, 그 부분합에 극한을 취해야 합니다. 일반항을 부분분수로 분해합니다.
일반항 $a_n = \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n+1}$
첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$을 구하면,
\begin{align*}
S_n &= \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{k} – \dfrac{1}{k+1} \right) \\
&= \left(1 – \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n+1}\right)
\end{align*}
이웃한 항들이 연쇄적으로 지워지는 것을 확인할 수 있습니다.
$$ S_n = 1 – \dfrac{1}{n+1} $$
이제 $n$을 무한대로 보내어 극한값을 구합니다.
$$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \dfrac{1}{n+1} \right) = 1 – 0 = 1 $$
📘 관련 개념 및 공식
부분분수 분해 (이항분리):
$$ \dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A} \left( \dfrac{1}{A} – \dfrac{1}{B} \right) $$
분모가 두 일차식의 곱으로 되어 있는 경우, 이 공식을 사용하여 뺄셈 형태로 쪼갤 수 있습니다. 급수에서는 이렇게 쪼갠 뒤 나열하면 도미노처럼 중간 과정이 모두 상쇄(Telescoping)되는 마법 같은 일이 벌어집니다.
$$ \dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A} \left( \dfrac{1}{A} – \dfrac{1}{B} \right) $$
분모가 두 일차식의 곱으로 되어 있는 경우, 이 공식을 사용하여 뺄셈 형태로 쪼갤 수 있습니다. 급수에서는 이렇게 쪼갠 뒤 나열하면 도미노처럼 중간 과정이 모두 상쇄(Telescoping)되는 마법 같은 일이 벌어집니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
부분분수 $\dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n+1}$ 꼴은 마치 늘어나는 망원경(Telescope)을 다시 접는 것과 같습니다. 무한히 많은 항을 더하더라도, 맨 처음 나오는 긍정의 항($1$)과 영원히 밀려나는 맨 끝의 부정의 항($-\dfrac{1}{\infty}$)만 살아남습니다. 맨 끝항은 결국 $0$으로 소멸하므로, 우리 눈에는 오직 맨 처음 살아남는 $\dfrac{1}{1} = 1$만이 결과로 보이게 됩니다.