$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x – 1}{2x}$의 값은?
①$\dfrac{1}{4}$
②$\dfrac{1}{2}$
③$1$
④$2$
⑤$4$
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✔ 정답 ②
📝 정석 풀이
지수함수의 극한의 가장 기본적인 표준형을 이용합니다. 주어진 식을 형태에 맞게 분리합니다.
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x – 1}{2x} &= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e^x – 1}{x} \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x – 1}{x} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{2}
\end{align*}
📘 관련 개념 및 공식
자연대수 $e$와 극한 공식:
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x – 1}{x} = 1 $$
이 공식은 수학적으로 아주 아름다운 의미를 갖습니다. 함수 $f(x) = e^x$라고 할 때, 위 식은 사실 원점 $(0,1)$에서의 미분계수(접선의 기울기) $f'(0)$을 의미합니다. 즉, $y=e^x$의 그래프는 $y$축과 만날 때 정확히 기울기가 $1$인 상태로 뚫고 지나간다는 뜻입니다.
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x – 1}{x} = 1 $$
이 공식은 수학적으로 아주 아름다운 의미를 갖습니다. 함수 $f(x) = e^x$라고 할 때, 위 식은 사실 원점 $(0,1)$에서의 미분계수(접선의 기울기) $f'(0)$을 의미합니다. 즉, $y=e^x$의 그래프는 $y$축과 만날 때 정확히 기울기가 $1$인 상태로 뚫고 지나간다는 뜻입니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
$x$가 $0$에 아주 가까워질 때, 지수함수 $e^x$는 접선인 $1 + x$와 거의 똑같이 움직입니다. 즉, $x \approx 0$ 부근에서 $e^x \approx 1 + x$로 치환해도 무방합니다. (이를 1차 테일러 근사 또는 매클로린 급수의 첫 항이라고 부릅니다.)
이를 식에 그대로 대입해 볼까요?
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x) – 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2} $$
형태를 맞추느라 머리 아프게 고민할 필요 없이, 극한의 본질적인 근사 원리로 허무할 만큼 쉽게 답이 도출됩니다.
이를 식에 그대로 대입해 볼까요?
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x) – 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2} $$
형태를 맞추느라 머리 아프게 고민할 필요 없이, 극한의 본질적인 근사 원리로 허무할 만큼 쉽게 답이 도출됩니다.