$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{3^n + 1}$의 값은?
①$1$
②$2$
③$3$
④$4$
⑤$5$
💡정답 및 해설 펼쳐보기
✔ 정답 ③
📝 정석 풀이
등비수열의 극한값을 구할 때는 밑의 절댓값이 가장 큰 항으로 분모와 분자를 각각 나누어 계산합니다. 분모에서 밑이 가장 큰 항인 $3^n$으로 분모와 분자를 각각 나눕니다.
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{3^n + 1} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{3 \cdot 3^n}{3^n + 1} \\
&= \lim_{n \to \infty} \dfrac{3}{1 + \dfrac{1}{3^n}}
\end{align*}
이때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$이므로
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{3}{1 + 0} = 3 $$
입니다.
📘 관련 개념 및 공식
등비수열의 극한: 공비 $r$의 범위에 따라 극한값이 결정됩니다.
특히 $|r| < 1$일 때 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$이 됨을 이용하는 것이 핵심입니다. 무한대 분의 무한대($\dfrac{\infty}{\infty}$) 꼴에서는 분모의 최고차항(영향력이 가장 큰 항)으로 나누어 식을 수렴하는 형태로 변형합니다.
특히 $|r| < 1$일 때 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$이 됨을 이용하는 것이 핵심입니다. 무한대 분의 무한대($\dfrac{\infty}{\infty}$) 꼴에서는 분모의 최고차항(영향력이 가장 큰 항)으로 나누어 식을 수렴하는 형태로 변형합니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
$n$이 무한히 커질 때, $3^n$이라는 거대한 숫자에 비해 상수 $+1$은 한낱 먼지와도 같습니다. 따라서 무한대 세계에서는 곁가지(작은 차수, 작은 밑)를 과감하게 지우고 본질(가장 덩치가 큰 항)만 바라보면 됩니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{3^n + 1} \approx \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3^1 = 3 $$
계산 과정 없이 눈으로만 보고도 1초 만에 답을 낼 수 있습니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{3^n + 1} \approx \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3^1 = 3 $$
계산 과정 없이 눈으로만 보고도 1초 만에 답을 낼 수 있습니다.