$x$에 대한 일차부등식 $ax-2 < 6$의 해가 $x > -2$일 때, 상수 $a$의 값은?
①$-5$
②$-4$
③$-2$
④$2$
⑤$5$
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✔ 정답 ②
📝 정석 풀이
일차부등식을 $x$에 대하여 풀어냅니다.
$$ ax – 2 < 6 $$ 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ ax < 8 $$ 양변을 $a$로 나누어 $x$의 범위를 구해야 합니다. 이때 주어진 조건에서 해가 $x > -2$라고 하였습니다. 부등호의 방향이 처음에 $<$ 였으나 해에서는 $>$ 로 반대로 뒤집혔음을 알 수 있습니다.
이는 $x$의 계수인 $a$가 음수($a < 0$)임을 뜻합니다.
부등호 방향을 바꾸며 $a$로 나누면,
$$ x > \dfrac{8}{a} $$
이 결과가 문제에서 제시된 해 $x > -2$와 완벽히 일치해야 하므로, 방정식이 성립합니다.
\begin{align*}
\dfrac{8}{a} &= -2 \\
-2a &= 8 \\
a &= -4
\end{align*}
$$ ax – 2 < 6 $$ 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ ax < 8 $$ 양변을 $a$로 나누어 $x$의 범위를 구해야 합니다. 이때 주어진 조건에서 해가 $x > -2$라고 하였습니다. 부등호의 방향이 처음에 $<$ 였으나 해에서는 $>$ 로 반대로 뒤집혔음을 알 수 있습니다.
이는 $x$의 계수인 $a$가 음수($a < 0$)임을 뜻합니다.
부등호 방향을 바꾸며 $a$로 나누면,
$$ x > \dfrac{8}{a} $$
이 결과가 문제에서 제시된 해 $x > -2$와 완벽히 일치해야 하므로, 방정식이 성립합니다.
\begin{align*}
\dfrac{8}{a} &= -2 \\
-2a &= 8 \\
a &= -4
\end{align*}
📘 관련 개념 및 공식
부등식의 해와 계수의 부호
$ax < b$ 꼴의 부등식에서, 부등호의 방향은 전적으로 $a$의 부호에 달렸습니다.
$ax < b$ 꼴의 부등식에서, 부등호의 방향은 전적으로 $a$의 부호에 달렸습니다.
- $a > 0$ 이면: $x < \dfrac{b}{a}$ (방향 그대로)
- $a < 0$ 이면: $x > \dfrac{b}{a}$ (방향 뒤집힘!)
⚡ 직관적 통찰 및 비법
경계값 대입법 (해의 경계 = 방정식의 해)
부등식의 해가 $x > -2$ 라는 것은, 경계가 되는 숫자 $-2$를 본래 식의 $x$에 대입했을 때 좌우가 정확히 같아지는 방정식의 해가 된다는 뜻입니다.
즉, $ax – 2 = 6$ 이라는 방정식의 $x$ 자리에 $-2$를 집어넣으면 끝납니다.
$$ a(-2) – 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad -2a = 8 \quad \Rightarrow \quad a = -4 $$
부등호 방향을 따질 필요조차 없이 5초 만에 답이 나옵니다. 단, 마지막에 $a$가 음수인지 한 번 더 확인(검산)해주면 완벽합니다.
부등식의 해가 $x > -2$ 라는 것은, 경계가 되는 숫자 $-2$를 본래 식의 $x$에 대입했을 때 좌우가 정확히 같아지는 방정식의 해가 된다는 뜻입니다.
즉, $ax – 2 = 6$ 이라는 방정식의 $x$ 자리에 $-2$를 집어넣으면 끝납니다.
$$ a(-2) – 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad -2a = 8 \quad \Rightarrow \quad a = -4 $$
부등호 방향을 따질 필요조차 없이 5초 만에 답이 나옵니다. 단, 마지막에 $a$가 음수인지 한 번 더 확인(검산)해주면 완벽합니다.