함수 $f(x) = x^{\ln x}$ $(x>0)$에 대하여 $f'(e)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.
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✔ 정답 $2$
📝 정석 풀이
밑과 지수에 모두 변수 $x$가 포함된 함수 $f(x) = x^{\ln x}$의 미분은 양변에 자연로그를 취하여 변수를 끌어내리는 ‘로그미분법’을 사용해야 합니다.
[Step 1] 양변에 자연로그 취하기
\begin{align*}
\ln f(x) &= \ln (x^{\ln x}) \\
&= \ln x \cdot \ln x \quad (\text{로그의 성질}) \\
&= (\ln x)^2
\end{align*}
[Step 2] 양변을 $x$에 대하여 미분하기
좌변은 합성함수의 미분법을 적용하고, 우변 역시 합성함수의 미분법을 적용합니다.
\begin{align*}
&\dfrac{f'(x)}{f(x)} = 2\ln x \cdot \dfrac{d}{dx}(\ln x) \\
&\dfrac{f'(x)}{f(x)} = 2\ln x \cdot \dfrac{1}{x}
\end{align*}
[Step 3] $f'(x)$ 정리 및 대입
양변에 $f(x)$를 곱하여 도함수를 완성합니다.
\begin{align*}
f'(x) &= f(x) \cdot \dfrac{2\ln x}{x} \\
&= x^{\ln x} \cdot \dfrac{2\ln x}{x}
\end{align*}
이제 $x=e$를 조심스럽게 대입합니다. (이때 $\ln e = 1$입니다.)
\begin{align*}
f'(e) &= e^{\ln e} \cdot \dfrac{2\ln e}{e} \\
&= e^1 \cdot \dfrac{2 \cdot 1}{e} \\
&= e \cdot \dfrac{2}{e} = 2
\end{align*}
📘 관련 개념 및 공식
로그미분법 (Logarithmic Differentiation):
함수의 구조가 $y = \{u(x)\}^{v(x)}$ 와 같이 지수와 밑이 모두 살아 숨 쉬는 변수일 때 사용하는 필살기입니다. 일반적인 다항함수나 지수함수의 미분 공식으로는 손을 댈 수 없습니다.
양변에 $\ln$을 취하면 지수에 있던 변수 $v(x)$가 곱셈으로 끌어내려져 $\ln y = v(x) \cdot \ln u(x)$라는 얌전한 식의 형태로 해체됩니다. 이후 양함수 미분 $\dfrac{y’}{y}$ 구조를 만들어 $y’$을 잡아냅니다.
함수의 구조가 $y = \{u(x)\}^{v(x)}$ 와 같이 지수와 밑이 모두 살아 숨 쉬는 변수일 때 사용하는 필살기입니다. 일반적인 다항함수나 지수함수의 미분 공식으로는 손을 댈 수 없습니다.
양변에 $\ln$을 취하면 지수에 있던 변수 $v(x)$가 곱셈으로 끌어내려져 $\ln y = v(x) \cdot \ln u(x)$라는 얌전한 식의 형태로 해체됩니다. 이후 양함수 미분 $\dfrac{y’}{y}$ 구조를 만들어 $y’$을 잡아냅니다.
⚡ 직관적 통찰 및 비법
로그미분법을 정석대로 푸는 것도 좋지만, 식 전체를 $e$의 지수 위로 올려버리면 놀랍도록 빠른 ‘한 줄 미분’이 가능해집니다.
함수 $f(x) = x^{\ln x}$를 지수 법칙 $A = e^{\ln A}$를 활용하여 변형해 보십시오.
\begin{align*}
&f(x) = e^{\ln(x^{\ln x})} = e^{(\ln x) \cdot (\ln x)} = e^{(\ln x)^2}
\end{align*}
이렇게 $e$의 거듭제곱 형태로 변환했다면, 곧바로 합성함수의 연쇄 미분을 때립니다.
\begin{align*}
&f'(x) = e^{(\ln x)^2} \cdot \left\{(\ln x)^2\right\}’ \\
&= x^{\ln x} \cdot \left(2\ln x \cdot \dfrac{1}{x}\right)
\end{align*}
양변에 로그를 취하고 곱하고 넘기는 번거로움 없이 한 호흡에 도함수가 완성됩니다. 여기에 $e$만 대입하면 끝납니다.
함수 $f(x) = x^{\ln x}$를 지수 법칙 $A = e^{\ln A}$를 활용하여 변형해 보십시오.
\begin{align*}
&f(x) = e^{\ln(x^{\ln x})} = e^{(\ln x) \cdot (\ln x)} = e^{(\ln x)^2}
\end{align*}
이렇게 $e$의 거듭제곱 형태로 변환했다면, 곧바로 합성함수의 연쇄 미분을 때립니다.
\begin{align*}
&f'(x) = e^{(\ln x)^2} \cdot \left\{(\ln x)^2\right\}’ \\
&= x^{\ln x} \cdot \left(2\ln x \cdot \dfrac{1}{x}\right)
\end{align*}
양변에 로그를 취하고 곱하고 넘기는 번거로움 없이 한 호흡에 도함수가 완성됩니다. 여기에 $e$만 대입하면 끝납니다.