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함수 $f(x)=a\cos x – x\sin x + b$를 미분합니다.
\begin{align*}
f'(x) &= -a\sin x – (\sin x + x\cos x) \\
&= -(a+1)\sin x – x\cos x
\end{align*}
$f'(x) = 0$을 만족하는 해를 찾기 위해 식을 변형합니다. (단, $\cos x=0$이면 $\sin x \neq 0$이므로 해가 될 수 없습니다. 따라서 양변을 $\cos x$로 나눌 수 있습니다.)
\begin{align*}
&-(a+1)\tan x – x = 0 \\
&\tan x = -\dfrac{1}{a+1}x
\end{align*}
위 방정식의 두 근 $\alpha, \beta$는 곡선 $y=\tan x$와 직선 $y=-\dfrac{1}{a+1}x$의 교점입니다. 두 그래프 모두 원점 대칭(기함수)이므로, 원점을 기준으로 양수 근과 음수 근은 완벽히 대칭을 이룹니다.
조건 $-\pi < \alpha < 0 < \beta < \pi$에 의해 $\alpha = -\beta$ 임을 확정 짓습니다.
[Step 2] $\beta$와 $a$ 값 구하기
주어진 두 번째 조건식에 $\alpha = -\beta$를 대입합니다. $\tan(-\beta) = -\tan\beta$ 이므로,
\begin{align*}
&\dfrac{\tan \beta – (-\tan \beta)}{\beta – (-\beta)} – \dfrac{1}{\beta} = 0 \\
&\dfrac{2\tan \beta}{2\beta} = \dfrac{1}{\beta} \\
&\tan \beta = 1
\end{align*}
$\beta \in (0, \pi)$에서 $\tan \beta = 1$을 만족하는 값은 $\beta = \dfrac{\pi}{4}$입니다.
이제 $\beta$가 교점 방정식의 해임을 이용하여 $a$를 구합니다.
\begin{align*}
&\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{1}{a+1}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \\
&1 = -\dfrac{\pi}{4(a+1)} \\
&a+1 = -\dfrac{\pi}{4} \implies a = -1 – \dfrac{\pi}{4}
\end{align*}
[Step 3] 극한 조건으로 $b$와 $c$ 구하기
극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2} = c$ 가 수렴합니다. 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 가야 합니다.
\begin{align*}
&f(0) = a\cos(0) – 0 + b = a + b = 0 \\
&\implies b = -a
\end{align*}
$b$를 대입하여 식을 재구성하고 극한값을 계산합니다.
\begin{align*}
c &= \lim_{x \to 0} \dfrac{a\cos x – x\sin x – a}{x^2} \\
&= \lim_{x \to 0} \left( -a \dfrac{1-\cos x}{x^2} – \dfrac{x\sin x}{x^2} \right) \\
&= \lim_{x \to 0} \left( -a \dfrac{1}{1+\cos x} \cdot \dfrac{\sin^2 x}{x^2} – \dfrac{\sin x}{x} \right) \\
&= -a\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot 1 – 1 = -\dfrac{a}{2} – 1
\end{align*}
여기에 $a = -1 – \dfrac{\pi}{4}$를 대입합니다.
\begin{align*}
c &= -\dfrac{1}{2}\left(-1 – \dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \\
&= \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8} – 1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}
\end{align*}
[Step 4] 최종 목표값 도출
구해야 할 값은 $f(2\beta) – c$ 입니다. $2\beta = \dfrac{\pi}{2}$ 이므로,
\begin{align*}
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= a\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) – \dfrac{\pi}{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + b \\
&= -\dfrac{\pi}{2} + b
\end{align*}
$b = -a = 1 + \dfrac{\pi}{4}$ 이므로 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 + \dfrac{\pi}{4} – \dfrac{\pi}{2} = 1 – \dfrac{\pi}{4}$.
최종적으로 빼줍니다.
\begin{align*}
&f(2\beta) – c \\
&= \left( 1 – \dfrac{\pi}{4} \right) – \left( -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right) \\
&= \dfrac{3}{2} – \dfrac{3\pi}{8}
\end{align*}
따라서 $p = \dfrac{3}{2}, q = -\dfrac{3}{8}$ 이고, $pq = -\dfrac{9}{16}$ 입니다.
방정식 $\tan x = kx$의 구조를 그래프로 관찰해 보십시오.
수식을 억지로 풀지 않더라도 두 함수 모두 기함수(홀수 차수 성질)를 가지므로, 교점 역시 정확히 반대 부호($\alpha = -\beta$)를 가질 수밖에 없다는 수학적 필연성을 읽어내야 합니다.
$x$가 $0$ 근방일 때, $\cos x \approx 1 – \dfrac{x^2}{2}$ 이고 $\sin x \approx x$ 입니다.
함수 $f(x)$에 이를 그대로 덮어 씌우면,
\begin{align*}
f(x) &\approx a\left(1 – \dfrac{x^2}{2}\right) – x(x) + b \\
&= (a+b) – \left(\dfrac{a}{2} + 1\right)x^2
\end{align*}
이 $f(x)$를 $x^2$으로 나누어 상수 $c$로 깔끔하게 수렴하려면,
1) 분자를 방해하는 상수항 $(a+b)$는 당연히 $0$이어야만 하고,
2) 남은 $x^2$의 계수 $-\left(\dfrac{a}{2} + 1\right)$ 이 그대로 극한값 $c$가 되어 떨어집니다.
수학의 깊은 원리를 꿰뚫으면 복잡한 극한 연산은 단순한 계수 비교로 진화합니다.